Presión Activa de Tierra de Coulomb.

Los cálculos de la presión activa de tierra de Rankine vistos en las secciones anteriores se basaron en la hipótesis de que el muro no tiene fricción. En 1776, Coulomb propuso una teoría para calcular la presión lateral de la tierra sobre un muro de retención con relleno de suelo granular, tomando en cuenta la fricción del muro.

Para aplicar la teoría de la presión activa de Coulomb, considérese un muro de retención con su espalda inclinada un ángulo β respecto a la horizontal, como muestra la figura 6.12a. El relleno es un suelo granular que se inclina un ángulo α con la horizontal y s es el ángulo de fricción entre el suelo y el muro (es decir, el ángulo de fricción del muro).

Bajo presión activa, el miro se moverá alejándose de la masa del suelo (hacia la izquierda en la figura 6.12a). Coulomb supuso que, en tal caso, la superficie de falla en el suelo sería un plano (por ejemplo, BC1, BC2,...). Entonces, para hallar la fuerza activa 

 FIGURA 6.12 Presión activa de Coulomb

 

 

en el ejemplo, considérese una posible cuña de falla de suelo ABC1. Las fuerzas que actúan sobre esta cuña ABC1 (por unidad de longitud en ángulo recto a la sección transversal mostrada), son las siguientes:

1. El peso W de la cuña.
2. La resultante, R, de las fuerzas normales y cortantes resistentes a lo largo de la superficie BC1. La fuerza R estará inclinada un ángulo Ø respecto a la normal a la superficie BC1.
3. La fuerza activa por longitud unitaria del muro, Pa. La fuerza Pa estará inclinada un ángulo S respecto a la normal al respaldo del muro.

Para fines de equilibrio, un triángulo de fuerzas se dibuja como muestra la figura 6.12b. Note que θ1 es el ángulo que BC1 forma con la horizontal. Como la magnitud de W así como las direcciones de las tres fuerzas son conocidas, el valor de Pa ahora es determinado. Similarmente, las fuerzas activas de otras cuñas de prueba, tales como las ABC2, ABC3,... se determinan. El valor máximo de Pa así calculado es la fuerza activa de Coulomb (véase la parte superior de la figura 6.12), que se expresa como 

donde 

Muestra la figura 6.13, la fuerza activa, Pa se calcula como

FIGURA 6.13  Presión activa de Coulomb con sobrecarga sobre el relleno.

donde

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Presión Activa de Tierra de Rankine para Terraplén Inclinado.

Si el relleno de un muro sin fricción es un suelo granular (c = O) y se eleva con un ángulo α con respecto a la horizontal (figura 6.10), el coeficiente de presión activa de la tierra, Ka, se expresa en la forma 

donde Ø =  ángulo de fricción del suelo

A cualquier profundidad z, la presión activa de Rankine se expresa como

 
La fuerza total por unidad de longitud del muro es 

 

FIGURA 6.10 Notación para la presión activa; ecs. (6.19), (6.20) y (6.21)

Note que en este caso, la dirección de la fuerza resultante, Pa, está inclinada a un ángulo α con ki horizontal y cruza el muro a una distancia de H/3 desde la base del muro. La tabla 6,2 presenta los valores de Ka (presión activa de la tierra) para varios valores α y Ø.

El análisis anterior se extiende a un relleno inclinado con un suelo c—Ø. Los detalles de la derivación matemática están dados por Mazindrani y Ganjali (1997). Como en la ecuación (6.20), para este caso

TABLA 6.2 Coeftciente K0 [ec. (6.19)] de presión activa de la tierra 

 

 

TABLA Valores de K' a

donde

Algunos valores de K’a se dan en la tabla  6.3. Para un problema de este tipo, la profundidad de la grieta de tensión, zc, se da por

Aplicación de las Teorías de la Presión Lateral de Tierra al Diseño.

Las teorías fundamentales para el cálculo de la presión lateral de tierra se presentaron anteoriormente. Para usar esas teorías en el diseño, un ingeniero debe hacer varias suposiciones simples. En el caso de muros en voladizo, el uso de la teoría de la presión de Rankine para revisiones de estabilidad, implica dibujar una línea vertical AB por el punto A, como muestra la figura 7.3a (que se localiza en el borde del talón de la losa de base). Se supone que la condición activa de Rankine existe a lo largo del plano vertical AB. Las ecuaciones de la presión activa de tierra de Rankine entonces se usan para calcular la presión lateral sobre la cara AB. En el análisis de estabilidad del muro, deben tomarse en consideración la fuerza Pa(Ranking), el peso, Ws, del suelo arriba del talón y el peso, We, del concreto. La hipótesis para el desarrollo de la presión activa de Rankine a lo largo de la cara frontal AB es teóricamente correcta si la zona de cortante limitada por la línea AC no es obstruida por el cuerpo del muro. El ángulo, lj, que la línea AC forma con la vertical es 

Un tipo similar de análisis se usa para muros de gravedad, como muestra la figura 7.3b.

Sin embargo, la teoría de Coulomb también se usa, corno muestra la figura 7.3c. Si se aplica la teoría de la presión activa de Coulomb, las únicas fuerzas por considerarse son Pa(Coulomb) y el peso, Wc, del muro.

FIGURA 7.3 Hipótesis para la determinación de la presión lateral de la tierra: (a) muro en voladizo; (b) muro de gravedad 

FIGURA 7.3

Si se usa la teoría de la presión de tierra de Coulomb, será necesario conocer el rango del ángulo δ de fricción del muro con varios tipos de material de relleno. Se dan a continuación algunos rangos del ángulo de fricción del muro de mampostería o de concreto. 

En el caso de muros de retención ordinarios no se encuentran problemas de nivel freático y por consiguiente de presión hidrostática. Siempre se toman medidas respecto al drenaje de los suelos retenidos.

En varios casos de muros de retención pequeños se usan cartas semiempíricas para evaluar la presión lateral de la tierra. Las figuras 7.4 y 7.5 muestran dos cartas semiempíricas dadas por Terzaghi y Peck (1967). La figura 7.4 es para rellenos con superficies planas y la figura 7.5 con inclinación del relleno hacia arriba desde la cresta del muro en una distancia limitada y luego continúan a nivel. Note que ½  KVH’^2 es la componente vertical de la fuerza activa sobre el plano AB; similarrnente, ½ Kh’^2 es la fuerza horizontal. Los números sobre las curvas indican los tipos de suelo descritos en la tabla 7.1.

Presión Pasiva de Tierra de Coulomb.

Coulomb (1776) también presentó un análisis para determinar la presión pasiva de la tierra (es decir, cuando el muro se mueve hacia la masa del suelo) en muros con fricción (δ = ángulo de fricción del muro) que retienen un material granular de relleno similar al visto en la sección 6.5.

Para entender la determinación de la fuerza pasiva de Coulomb, Pp, considere el muro mostrado en la figura 6.27a. Igual que en el caso de la presión activa, Coulomb supuso que la superficie potencial de falla en el suelo es un plano. Para una cuña de falla de prueba, como la ABC1, las fuerzas por longitud unitaria del muro que actúan sobre la caña son

1. El peso, W, de la cuña
2. La resultante, R, de las fuerzas normal y cortante sobre el plano BC1
3. La fuerza pasiva, P 

 FIGURA 6.27  Presión pasiva de Coulomb.

La figura 6.27 muestra el triángulo de fuerzas en equilibrio para la cuña de prueba ABC1. De este triángulo de fuerzas, el valor de Pp se determina porque son conocidas la dirección de las tres fuerzas y la magnitud de una de ellas.

Triángulos similares de fuerzas para varias cuñas de prueba, tales como las ABC1, ABC2, ABC3,... pueden construirse y determinarse los correspondientes valores de Pp. La parte superior de la figura 6.27a muestra la naturaleza de la variación de los valores Pp  para diferentes cuñas. El valor mínimo de Pp  en este diagrama es la fuerza pasiva de Coulomb. Matemáticamente, ésta se expresa como 

TABLA 6.12

donde 

Los valores del coeficiente, Kp, de la presión pasiva para varios valores de Ø y δ  se proporcionan en la tabla 6.12 (β = 90º  y α = 0º).

Note que la fuerza pasiva resultante, Pp, actúa a una distancia H/3 desde el fondo del muro y está inclinada un ángulo δ respecto a la normal a la espalda del muro.

Presión Pasiva de Tierra de Rankine – Relleno Inclinado.

Para un muro de retención vertical sin fricción (figura 6.10) con un relleno granular (c = O), la presión pasiva de Rankine a cualquier profundidad se determina de manera similar a como se hizo en el caso de la presión activa en la sección 6.4, o 

y la fuerza pasiva

Igual que en el caso de la fuerza activa, la fuerza resultante, Pp, está inclinada a un ángulo α con la horizontal y cruza el muro a una distancia de H/3 desde el fondo del muro. Los valores de Kp (coeficiente de presión pasiva de la tierra) para varios valores de α y Ø se muestran en la tabla 6.10.

Si el relleno del muro de retención vertical sin fricción es un suelo c = Ø - (figura 6.10), entonces

donde 

TABLA 6.10  Coeficiente Kp de presión pasiva ec.  6.61

TABLA 6.11 Valores de K’p

Presión Pasiva de Tierra de Rankine.

La figura 6.25a muestra un muro de retención vertical sin fricción con un relleno horizontal. A la profundidad z, la presión vertical sobre un elemento de suelo es σ = γz. Inicialmente, si el miro no cede en absoluto, el esfuerzo lateral a esa profundidad será σh = K0 σv. El estado de esfuerzo es ilustrado por el círculo de Mohr a en la figura 6.25b. Ahora, si el miro es empujado hacia la masa del suelo una cantidad Δx, como muestra la figura 6.25a, el esfuerzo vertical a la profundidad z permanecerá igual; sin embargo, el esfuerzo horizontal se incrementará. Así entonces, σh será mayor que K0 σv. El estado de esfuerzo ahora se representa por el círculo de Mohr b en la figura 6.25b. Si el muro se mueve más hacia dentro (es decir, Δx aumenta más aún), el esfuerzo a la profundidad z alcanzará finalmente el estado representado por el círculo de Mohr c (figura 6.25b). Note que este círculo de Mohr toca la envolvente de falla de Mohr-Coulomb, lo que implica que el suelo detrás del muro fallará siendo empujado hacia arriba. El esfuerzo horizontal, σh, en este punto se llama la presión pasiva de Rankine, O σh = σp

Para el círculo de Mohr c en la figura 6.25b, el esfuerzo principal mayor es o y el esfuerzo principal menor es σv,. Sustituyéndolos en la ecuación (1.84) se obtiene 

FIGURA 6.25  Presión pasiva de Rankine.

TABLA 6.9  Variación de Kp de Rankine

La ecuación (6.57) produce la figura 6.25c, que da el diagrama de presión pasiva para el muro mostrado en la figura 625a. Note que en z = O, 

La fuerza pasiva por unidad de longitud del muro se determina del área del diagrama de presión, o 

Las magnitudes aproximadas de los movimientos del muro, &, requeridos para desarrollar la falla bajo condiciones pasivas son 

Presión Lateral de Tierra por Sobrecarga.

En varios casos, la teoría de la elasticidad se usa para determinar la presión lateral de la tierra sobre estructuras de retención causada por varios tipos de sobrecargas, tales como una carga en línea (figura 6.18a) y una carga defranja (figura 6.18b).

De acuerdo con la teoría de la elasticidad, el esfuerzo a cualquier profundidad, z, sobre una estructura de retención causada por una carga en línea de intensidad q/longitud unitaria (figura 6.18a) se expresa po

 
donde σ = esfuerzo horizontal a la profundidad z = bH
(Véase el significado de los términos a y b en la figura 6.18a.)
Sin embargo, como el suelo no es un medio perfectamente elástico, deben esperarse algunas variaciones de la ecuación (6.36). Las formas modificadas de esta fórmula generalmente aceptadas para uso con suelos son las siguientes: 

 

La figura 6.18b muestra una carga de franja con una intensidad de q/área unitaria localizada a una distancia b' desde un muro de altura H. Con base en la teoría de la elasticidad, el esfuerzo horizontal, σ, a cualquier profundidad z sobre una estructura de retención es 

(Los ángulos α y β se definen en la figura 6.l8b.)
Sin embargo, en el caso de suelos, el lado derecho de la ecuación (6.39) se duplica para tomar en cuenta e] acomodo de la masa del suelo, o 

FIGURA 6.18  Presión lateral de la tierra causada por (a) carga de línea y (b) carga de franja

La fuerza total por unidad de longitud (P) debida únicamente a la carga de franjo (Jarquio, 1981) se expresa como 

Presión Activa de Tierra para Condiciones Sísmicas.

La teoría de la presión activa de Coulomb se extiende para tomar en cuenta las fuerzas generadas por un sismo. La figura 6.14 muestra una condición de presión activa con un relleno granular (c= O). Note que las fuerzas que actúan sobre la cuña de falla del suelo en la figura 6.14, son esencialmente las mismas que las mostradas en la figura 6.12a, con la adición de khWy kvW en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente; kh y kv pueden definirse como 

Igual que en la sección 6.5, la relación para la fuerza activa por unidad de longitud del muro (Pae) se determina como 

FIGURA 6.14  Obtención de la ec.  6.31 

donde

Note que para una condición sin sismo 

Por consiguiente Kae = Ka [como en la ec.  6.26 ]

FIGURA 6.15

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A la ecuación (6.31) se le conoce como la solución Mononobe-Okabe. A diferencia del caso mostrado en la figura 6.12a, la resultante de la presión de la tierra en esta situación, tal como es calculada por la ecuación (6.31), no actúa a una distancia de H/3 desde el fondo del muro. El procedimiento siguiente se usa para obtener la localización de la fuerza resultante Pae:

1. Calcular Pae usando la ec. (6.3 1)

2. Calcular Pa usando la ec. (6.25)

3 Calcular 

 

4. Suponer que Pa actúa a una distancia H/3 desde el fondo del muro (figura 6.16).

5. Suponer que ΔPae actúa a una distancia O.6H desde el fondo del muro (figura 6.16).

6. Calcular la localización de la resultante con la expresión 

FIGURA 6.16  Determinación de la línea de acción de Pae